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Fonctions avancées - MHF4U

Code du cours CEI : MHF4U-2

12e année, préuniversitaire, 1,0 crédit

Description de cours

Ce cours permet à l’élève d’approfondir sa compréhension des fonctions. L’élève explore et applique les propriétés de fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques, polynômes et rationnelles. L’élève approfondit sa compréhension des mathématiques relativement aux taux de variation et accroît sa compréhension des caractéristiques des fonctions en les appliquant à divers problèmes. Tout au long du cours, l’élève apprend à communiquer de façon claire et précise les étapes de son raisonnement mathématique. Ce cours intéresse particulièrement l’élève qui cherche à consolider sa compréhension des mathématiques avant d’entreprendre des études universitaires ou qui désire s’inscrire à des cours de mathématiques à l’université.

Journal électronique

Pour ce cours, il faut soumettre le travail en ligne en utilisant Microsoft Word © ou OpenOffice Writer.

Unit 1: Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques

Si tu as un compte en banque ou si tu détiens une carte de crédit, tu connais les effets de la croissance exponentielle. L’intérêt (celui que rapporte un compte ou qui est facturé à ta carte de crédit) est un des nombreux phénomènes qui sont modélisés par des fonctions exponentielles. En sciences, les fonctions exponentielles servent à prédire, entre autres, la croissance des populations et le taux auquel se désintègrent les substances radioactives.

L’inverse de l’exposant est le logarithme. Avant l’invention des calculatrices scientifiques, les logarithmes nous permettaient de travailler avec des nombres extrêmement grands ou extrêmement petits. Ils sont toujours très utiles pour exprimer des mesures comme l’intensité du son (décibels), la magnitude d’un tremblement de terre (l’échelle de Richter) ou l’acidité d’une solution (pH).

Dans cette unité, tu étudieras les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques et tu examineras les graphiques de chaque type de fonction et le rapport qui existe entre eux. Tu verras comment résoudre les équations exponentielles et les équations logarithmiques, et comment t’en servir pour résoudre des problèmes concrets.

Unit 2: Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles

Parfois, il faut décrire par des équations mathématiques certains phénomènes qui ne sont pas aussi simples que les exemples donnés dans l’unité 1. En effet, certains phénomènes ont des comportements plus complexes que la simple croissance ou décroissance : ils fluctuent, commencent en croissant, puis décroissent, puis croissent de nouveau.

On trouve des exemples de ces phénomènes changeants en économie et en sciences. L’équation polynomiale qui décrit une de ces situations peut se trouver par algèbre ou par analyse statistique. Une fois qu’on est en présence de cette équation, on peut s’en servir pour en apprendre le plus possible, ce qui peut demander que l’on trace un graphique ou que l’on résolve l’équation par algèbre. Une compétence clé pour tracer un polynôme ou pour le résoudre est la factorisation. Plus une fonction polynôme est complexe, plus elle peut être difficile à factoriser. Tu apprendras des façons de simplifier la factorisation de polynômes complexes et d’utiliser la forme factorisée des fonctions polynômes pour trouver des solutions à des problèmes.

Tes compétences à travailler avec des polynômes s’amélioreront, et tu pourras jongler avec des fonctions rationnelles et des inéquations. Les polynômes réguliers seront approfondis et combinés pour créer des fonctions utiles et efficaces. Tu analyseras ces fonctions et les représenteras graphiquement, et tu apprendras à t’en servir pour résoudre des problèmes.

Unit 3: Les fonctions trigonométriques

La trigonométrie est une des branches des mathématiques les plus anciennes... et les plus utiles. Plusieurs notions de trigonométrie ont été développées il y a plusieurs milliers d’années. Aujourd’hui, les applications de la trigonométrie sont nombreuses, tant en mathématiques qu’en science et en construction. Une bonne compréhension de la trigonométrie te sera très utile dans tes études de mathématiques et t’aidera aussi à réfléchir à des problèmes, à les résoudre et à analyser des relations.

En plus de permettre la résolution des côtés et des angles des triangles, les fonctions trigonométriques (sinus et cosinus) servent à modéliser et à représenter des phénomènes tels que les moyennes mensuelles des températures d’une année, le mouvement d’un objet suspendu par un ressort, l’oscillation d’un pendule, la taille de populations d’insectes dans le temps, la profondeur de l’eau en fonction des marées, la hauteur à laquelle se situe une personne dans une grande roue de fête foraine, de même que les phases de la lune sur une période de 28 jours. Ces phénomènes cycliques, ou périodiques, se modélisent tous par des fonctions sinusoïdales. Autrement dit, on peut connaître approximativement le comportement de ces phénomènes à l’aide de transformations des fonctions y = sinx ou y = cosx.

Dans cette unité, tu étudieras aussi les radians, une autre unité de mesure des angles ou des rotations (tout comme il existe plusieurs unités de longueur : les mètres, les verges, etc.).

Unit 4: Les caractéristiques des fonctions

Le mouvement d’un point situé sur une bande de roulement d’un pneu d’auto se modélise par une simple courbe trigonométrique; par contre, ce même mouvement, mesuré sur une auto qui monte et descend une colline, ne se modélise pas par une simple courbe trigonométrique car la courbe aurait une inclinaison vers le haut ou vers le bas. L’oscillation d’un pendule n’est pas représentée par une courbe trigonométrique lorsque l’amplitude de l’oscillation commence à diminuer, car on doit tenir compte de l’amortissement de la courbe.

Ces derniers exemples requièrent une analyse plus complexe du mouvement car ils impliquent plus d’un type de relations. Dans cette dernière unité, tu examineras les caractéristiques individuelles des fonctions, de même que le résultat de la combinaison de plusieurs fonctions.

Il s'agit de la version française du cours.

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